合成平均是一種特殊平均，設(shè)a>b>0，a0=a，b0=b，an，bn(n=1，2，…)分別是an-1與bn-1的算術(shù)平均與調(diào)和平均，則limn→∞an=limn→∞bn=√(ab)，這說明幾何平均可以通過算術(shù)平均與調(diào)和平均構(gòu)成的數(shù)列得到，這種思想的一般化就是合成平均。

簡介

幾何平均、調(diào)和平均等的合成

舉例

算術(shù)幾何平均

所屬學(xué)科

數(shù)學(xué)

基本介紹

合成平均是一種特殊平均，設(shè)a>b>0，a=a，b=b，a，b(n=1，2，…)分別是a與b的算術(shù)平均與調(diào)和平均，則

這說明幾何平均可以通過算術(shù)平均與調(diào)和平均構(gòu)成的數(shù)列得到。這種思想的一般化就是合成平均。

設(shè)a>b>0，M(a，b)，N(a，b)表示a，b的某兩種平均，定義a=a，b=b，a=M(a，b)，b=N(a，b)，若

與

存在且相等，則這個極限值記為M N(a，b)，若

M N(a，a)=a，M N(a，b)=MN(b，a)，

則M N(a，b)稱為a，b關(guān)于M與N的合成平均。前述結(jié)果可表示為G=A H，其中G，A，H分別表示幾何平均、算術(shù)平均、調(diào)和平均，對任意實數(shù)p，q，冪平均M與M的合成平均M M總存在，且M M=M當且僅當p+q=r=0。合成平均可交換，即

M N=N M.

舉例說明

算術(shù)-幾何平均是一種特殊平均，即算術(shù)平均與幾何平均的合成平均，設(shè)a=a>b=b>0，a=1/2(a+b)，b=√(a·b)，則a和b有共同的極限，這個極限稱為a，b的算術(shù)-幾何平均，一般記為AMG(a，b)，這是由高斯(C.F.Gauss)命名的。

合成平均

合成平均

設(shè)a和b是兩個正數(shù)，定義數(shù)列 和 如下

合成平均

合成平均

合成平均

合成平均

合成平均

這里。由算術(shù)幾何平均不等式，明顯地， ．根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法容易證明數(shù)列 是遞減的，而 是遞增的，等價于

合成平均

清楚地，

合成平均

進而得到

合成平均

因此，這兩個數(shù)列有共同的極限，即

合成平均

合成平均

我們稱該極限為a和b的

算術(shù)-幾何平均

AGM(a，b)，也有一些文獻用A G(a，b)表示這個平均.。Lagrange和Gauss首先研究了這個平均，但是這個平均真正的重要性以及與橢圓積分的聯(lián)系屬于Gauss，有時也稱這個平均為Gauss算術(shù)-幾何平均。