單參數(shù)變換群(one-para meter group of trans-formations)亦稱R在流形上的(左)作用。

詳細概念

黎曼幾何的一個概念。流形上的一族微分同胚。C流形M上的單參數(shù)變換群是M的一族C微分同胚

，它具有以下性質(zhì)：

1.

是C映射。

2.

是恒同映射。

3.

若U是M的一個開鄰域，

，以

來替代

且使

則{φ}稱為作用在U上的局部單參數(shù)變換群。這時

是C微分同胚。

對于局部單參數(shù)變換群{φ}及U中的任一點p，由

定義的映射

是M中過p的一條參數(shù)曲線。它稱為群{φ}過p點的軌線，以X表示軌線

在p點的切向量，即：

這樣就在U上給定了一個C向量場X，它稱為由{φ}誘導的向量場。因為

，即

，所以{φ}的軌線都是其誘導的向量場的積分曲線，并且誘導向量場X在每個微分同胚φ下是不變的。對于M上的單參數(shù)變換群有相同的結(jié)論。反之，若給定一個M上的C向量場Y，則有：對M的任一點p，必存在含p的一個鄰域U及作用在U上的局部單參數(shù)群{φ}，使得在U上Y|U是由{φ}誘導的向量場。因此，也稱Y是局部單參數(shù)變換群{φ}的無窮小生成元，或簡單地說Y生成{φ}。當M是緊致連通流形時

，從而緊致C流形M上的C向量場是一個單參數(shù)變換群的無窮小生成元。

群

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數(shù)結(jié)構(gòu)；是可用來建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結(jié)構(gòu)。

設(shè)G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數(shù)運算“·”(稱為“乘法”，運算結(jié)果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，

;

(2)結(jié)合律，即

;

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得

，則稱G對于所定義的運算“·”構(gòu)成一個群。例如，所有不等于零的實數(shù)，關(guān)于通常的乘法構(gòu)成一個群；時針轉(zhuǎn)動(關(guān)于模12加法)，構(gòu)成一個群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數(shù)學最重要的概念之一，已滲透到現(xiàn)代數(shù)學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質(zhì)，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類?？梢哉f，不了解群，就不可能理解現(xiàn)代數(shù)學。

1770年，拉格朗日在討論代數(shù)方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

同胚

拓撲空間之間的一種變換。若f是拓撲空間

到

的單滿映射，并且f與f都是連續(xù)的，則稱f為同胚映射或拓撲變換。存在同胚映射的兩個拓撲空間稱為同胚的或拓撲等價的。同胚關(guān)系是等價關(guān)系。抽象空間的同胚是弗雷歇(Fréchet，M.-R.)于1910年開始研究的。在狹窄的意義下同胚的概念早已被龐加萊(Poincaré，(J.-)H.)引入。

微分同胚

微分同胚是微分流形之間的一類同胚映射。它與它的逆映射都是可微的。設(shè)M，N均為微分流形，對于映射

，若f是同胚映射，并且f，f都是C可微映射，則稱f為M到N上的C微分同胚。C微分同胚

簡稱M到N上的微分同胚。對于微分流形M，N，若存在(C)微分同胚

，則稱M與N是(C)微分同胚的微分流形，記為MN.“”是微分拓撲學中的基本等價關(guān)系。微分拓撲的基本任務(wù)是研究微分流形在微分同胚下保持不變的性質(zhì)，以及尋求在怎樣的條件下兩個微分流形是微分同胚的。米爾諾(Milnor，J.W.)于1956年證明，在S上至少存在兩個不微分同胚的微分構(gòu)造。后來證實，S上恰好有15個這樣的不同的微分構(gòu)造。

黎曼幾何

微分幾何的一個重要分支，由德國數(shù)學家黎曼(Riemann，(G.F.)B.)于19世紀中期所開創(chuàng)。他于1854年在哥丁根大學所做的就職演說“關(guān)于幾何學基礎(chǔ)的假設(shè)”是黎曼幾何的發(fā)端。后經(jīng)克里斯托費爾(Christoffel，E.B.)、里奇(Ricci，C.G.)、列維-齊維塔(Levi-Civita，T.)等人進一步完善和發(fā)展，成為愛因斯坦(Einstein，A.)于1905年創(chuàng)立廣義相對論的有力數(shù)學工具，也使黎曼幾何得以蓬勃發(fā)展。嘉當(Cartan，E.)建立的外微分形式和活動標架法，使李群與黎曼幾何溝通起來，為黎曼幾何的發(fā)展開辟了廣闊的前途，影響極為深遠。近半個世紀以來，黎曼幾何的研究從“局部”發(fā)展到“整體”，產(chǎn)生了許多深刻的并在其他數(shù)學分支(如拓撲學、偏微分方程論、多復(fù)變函數(shù)論等)及理論物理中有重要影響的結(jié)果。現(xiàn)在，黎曼幾何已成了現(xiàn)代數(shù)學的重要內(nèi)容之一。

黎曼幾何是黎曼流形上的幾何學，黎曼流形是局部歐氏化的微分流形。設(shè)M是n維微分流形，若在每點

的切空間中給定一個光滑依賴于p的歐氏度量g(即正定數(shù)積)，則

就成為黎曼流形，g稱為黎曼度量。當g與點p無關(guān)時，就得到通常的歐氏空間。黎曼的杰出創(chuàng)造之處就在于把度量看成是附加到流形上去的一個結(jié)構(gòu)，一個流形可賦予眾多的黎曼度量。