一維無(wú)限深勢(shì)阱是粒子在一維運(yùn)動(dòng)中空間的一種特殊勢(shì)場(chǎng)。

假設(shè)粒子所處勢(shì)場(chǎng)不隨時(shí)間改變，當(dāng)粒子所處勢(shì)場(chǎng)在空間中某一區(qū)域?yàn)?，在其余區(qū)域?yàn)闊o(wú)窮大時(shí)，粒子的運(yùn)動(dòng)會(huì)被束縛在該區(qū)域內(nèi)，如同掉入一個(gè)深度無(wú)限大的井內(nèi)無(wú)法爬上來(lái)。粒子在阱內(nèi)的運(yùn)動(dòng)及分布情況需要應(yīng)用量子力學(xué)的定態(tài)薛定諤方程求解。

定義

如果粒子受某種作用的限制，因而在空間某區(qū)域內(nèi)發(fā)現(xiàn)該粒子的概率遠(yuǎn)大于其他區(qū)域，則此區(qū)域?？煽醋鲆粋€(gè)勢(shì)阱（例：電子在金屬固體中運(yùn)動(dòng)；質(zhì)子、中子被束縛在原子核中。）。為簡(jiǎn)化問(wèn)題的討論，往往假定粒子在外力場(chǎng)中的勢(shì)函數(shù)為

該理想化模型稱作一維無(wú)限深勢(shì)阱。

實(shí)際模型

在金屬中的自由電子不會(huì)自發(fā)地逃出金屬，它們?cè)诟骶Ц窠Y(jié)點(diǎn)（正離子）形成的“周期場(chǎng)”中運(yùn)動(dòng)。進(jìn)一步簡(jiǎn)化這個(gè)模型，可以粗略地認(rèn)為粒子被“無(wú)限高”的勢(shì)能壁束縛在金屬之中，由此而抽象出粒子在無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)勢(shì)阱是一維的，這是量子力學(xué)中最簡(jiǎn)單的例子。自由電子在一塊金屬中的運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于在勢(shì)阱中的運(yùn)動(dòng)。在阱內(nèi)，由于勢(shì)能為零，粒子受到的總的力為零，其運(yùn)動(dòng)是自由的。在邊界上

或

處，由于勢(shì)能突然增加到無(wú)限大，粒子受到無(wú)限大指向阱內(nèi)的力。因此，粒子的位置不可能到達(dá)

的范圍以外。

波函數(shù)

設(shè)粒子有效質(zhì)量為

，粒子運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)為

。

在阱內(nèi)（

），體系的定態(tài)薛定諤方程為

①

在阱外（

，體系的定態(tài)薛定諤方程為

②

由于阱外

，阱外波函數(shù)

。

由波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋可知，在

和

兩點(diǎn)波函數(shù)連續(xù)，因此要求阱內(nèi)波函數(shù)滿足

③

①式中，令

，方程的解具有以下形式

④

將③代入④，得

，

。由于

，波函數(shù)無(wú)意義，因此

，解出

，將該結(jié)果代入④以及

，可得出粒子能級(jí)以及波函數(shù)。

將波函數(shù)歸一化

，

，因此，波函數(shù)