一致估計(jì)亦稱相合估計(jì)和相容估計(jì)，是一種優(yōu)良點(diǎn)估計(jì)。按收斂的意義不同將一致估計(jì)分為兩種：弱一致估計(jì)和強(qiáng)一致估計(jì)。

點(diǎn)估計(jì)又稱定值估計(jì)，是指直接用樣本平均數(shù)或樣本成數(shù)代替總體平均數(shù)或成數(shù)，而不考慮誤差的一種估計(jì)方法。例如對(duì)100名大學(xué)生進(jìn)行收視率調(diào)查，調(diào)查結(jié)果是30%每天收看電視新聞，從而推斷， 在全體大學(xué)生中30%每天收看電視新聞。

概念

一致估計(jì)(consistent estimator)亦稱相合估計(jì)和相容估計(jì)。是一種優(yōu)良點(diǎn)估計(jì)。設(shè)總體ξ的概率分布函數(shù)為

，

為未知參數(shù)，若可估函數(shù)g(θ)估計(jì)量

當(dāng)n趨于無窮時(shí)，在某種意義下收斂于g(θ)，則稱

是

在這種收斂意義下的一致估計(jì)。它要求作為估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)樣本容量無限增大時(shí)，在某種意義下，收斂于待估計(jì)參數(shù)的真值。按收斂的意義不同將一致估計(jì)分為兩種：若當(dāng)樣本容量

時(shí)，對(duì)任意給定的

，有：

則

稱為

的弱一致估計(jì)；若有：

則

稱為

的強(qiáng)一致估計(jì)。一致估計(jì)是點(diǎn)估計(jì)中最基本的大樣本準(zhǔn)則。例如，正態(tài)總體

的樣本均值ξ就是

的一致估計(jì)，因?yàn)楦鶕?jù)大數(shù)定律，對(duì)任給

，當(dāng)

時(shí)，有：

成立。這就表明ξ是E(ξ)的弱一致估計(jì)。

估計(jì)

根據(jù)觀測(cè)值來推測(cè)母體參數(shù)的值或范圍的過程稱為估計(jì)。估計(jì)分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估 計(jì)。點(diǎn)估計(jì)，是根據(jù)觀測(cè)值估計(jì)出對(duì)母體參數(shù)θ的估計(jì)值

的過程。例如，在進(jìn)行燈泡壽命測(cè)定時(shí)，根據(jù)幾個(gè)燈泡壽命 來推測(cè)一批燈泡壽命的過程，就為點(diǎn)估計(jì)。其過程是：先抽取若干個(gè)燈泡做樣本來測(cè)取壽命值 (以小時(shí)為單位) ，樣本的壽命分別是

，求出平均值

和方差：

此時(shí)就用平均壽命去估計(jì)母體壽命μ，用方差S去估計(jì)母體 σ，即是點(diǎn)估計(jì)。

點(diǎn)估計(jì)

點(diǎn)估計(jì)又稱定值估計(jì)，是指直接用樣本平均數(shù)或樣本成數(shù)代替總體平均數(shù)或成數(shù)，而不考慮誤差的一種估計(jì)方法。例如對(duì)100名大學(xué)生進(jìn)行收視率調(diào)查，調(diào)查結(jié)果是

每天收看電視新聞，從而推斷，在全體大學(xué)生中

每天收看電視新聞。

一般說來，用抽樣指標(biāo)估計(jì)總體指標(biāo)，總會(huì)存在一定差異，但如果滿足下面3個(gè)要求，就可認(rèn)為是合理估計(jì)或優(yōu)良估計(jì)。1.無偏性。用抽樣指標(biāo)估計(jì)總體指標(biāo)時(shí)，個(gè)別樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)間會(huì)有偏差，而用很多樣本指標(biāo)的平均值估計(jì)總體指標(biāo)，平均說來是無偏差的。2.一致性。用抽樣指標(biāo)估計(jì)總體指標(biāo)，當(dāng)樣本單位數(shù)充分大時(shí)，抽樣指標(biāo)將充分接近總體指標(biāo)。3.有效性。用抽樣平均數(shù)和總體某一變量來估計(jì)總體平均數(shù)時(shí)，雖然兩者都是無偏估計(jì)量，但樣本平均數(shù)更靠近總體平均數(shù)，平均說來，它的離差較小，因此，是更優(yōu)良的估計(jì)量。

區(qū)間估計(jì)

設(shè)總體或總體分布的某個(gè)參數(shù)為θ，從該總體抽取含量為n的樣本，按一定概率估計(jì)總體參數(shù)θ在哪個(gè)范圍，即由樣本觀測(cè)值求θ的

可信區(qū)間，

稱可信度，通常取95%可信度，即

，求θ的

可信區(qū)間。如求總體均數(shù)μ的

可信區(qū)間，求總體率π的

可信區(qū)間，求總體回歸系數(shù)β的

可信區(qū)間等。θ的區(qū)間估計(jì)常和其點(diǎn)估計(jì)θ相結(jié)合。一般當(dāng)樣本含量較大時(shí)(如

)，θ近似服從正態(tài)分布，可用正態(tài)近似法求總體參數(shù)的

可信區(qū)間：

或簡寫成

。

為θ的標(biāo)準(zhǔn)誤。通常求總體參數(shù)θ的

可信區(qū)間：

或簡寫成

。可信區(qū)間的含義為：固定樣本含量n，從總體中作隨機(jī)抽樣，每個(gè)樣本可以算得一個(gè)可信區(qū)間，如

可信區(qū)間，意味著做100次抽樣，算得100個(gè)可信區(qū)間，平均有95個(gè)可信區(qū)間包括總體參數(shù)(估計(jì)正確)，只有5個(gè)可信區(qū)間不包括總體參數(shù)(估計(jì)錯(cuò)誤)。

是小概率事件，實(shí)際發(fā)生的可能性小，因此，在實(shí)際應(yīng)用中就認(rèn)為總體參數(shù)在算得的一個(gè)可信區(qū)間內(nèi)，冒5%犯錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)?？尚艆^(qū)間的兩個(gè)要素：一是準(zhǔn)確度，反映在可信度

的大小，越接近1越準(zhǔn)確，如可信度

比

準(zhǔn)確；二是精密度，反映在區(qū)間的長度，越小越精密。二者是矛盾的，需要兼顧。

統(tǒng)計(jì)量

樣本的已知函數(shù)，其作用是把樣本中有關(guān)總體的信息匯集起來，是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中一個(gè)重要的基本概念。常用統(tǒng)計(jì)量有樣本矩、次序統(tǒng)計(jì)量、U統(tǒng)計(jì)量和秩統(tǒng)計(jì)量等。其中U統(tǒng)計(jì)量是W.霍夫丁于1948年引進(jìn)的。統(tǒng)計(jì)量的充分性和完全性是兩個(gè)重要概念，充分性是費(fèi)希爾在1925年引進(jìn)的，內(nèi)曼和P.R.哈爾莫斯在1949年嚴(yán)格證明了一個(gè)判定統(tǒng)計(jì)量充分性的方法，叫做因子分解定理。統(tǒng)計(jì)量的分布叫做抽樣分布，它的研究是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的重要課題。對(duì)一維正態(tài)總體，有三個(gè)重要的抽樣分布，即χ分布、t分布和F分布。其中χ分布是F.赫爾梅特于1875年在研究正態(tài)總體的樣本方差時(shí)得到的；t分布是英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家W.S.戈塞特(筆名“學(xué)生”)于1908年提出的；F分布是費(fèi)希爾在20世紀(jì)20年代提出的。