定義

自然映射一種重要的映射，亦稱正規(guī)映射、典型映射。

設(shè)R是集合A上的等價關(guān)系，若映射g：A→A/R對當(dāng)a∈A有g(shù)(a)=[a]，則g稱為A關(guān)于等價關(guān)系R的

自然映射

，記為n.

注：自然映射n把A的元素a映射成它的等價類[a]，即n(a)=[a].

性質(zhì)

自然映射是滿射。反之，設(shè)f：A→B是滿射，則

自然映射

是A的直和分解。而{f(b)}是A的劃分，若由此劃分定義的等價關(guān)系為R，則當(dāng)f(a)=b時，[a]=f(b)，于是f可分解為一個自然映射與一個雙射的積：f=g°n，這里g：f(b)→b.

舉例

例 設(shè)A={a,b,c,d,e,f}={某大學(xué)宿舍的大學(xué)生}；R是A上的同鄉(xiāng)關(guān)系（不難證明同鄉(xiāng)關(guān)系是等價關(guān)系），若a,b是北京人，c是廣東人，d,e,f是南京人，則R={(a,a)，(a,b)，(b,a)，(b,b)，(c,c)，(d,d)，(d,e)，(d,f)，(e,d)，(e,e)，(e,f)，(f,d)，(f,e)，(f,f)}. A關(guān)于R的商集A/R={[a]R,[c]R,[d]R}={{a,b},{c},{d,e,f}}.

A中各元素關(guān)于R的等價類（自然映射）分別是：

[a]=[b]={a,b}；

[c]={c}；

[d]=[e]=[f]={d,e,f}.