性質

艾森斯坦整數(shù)在代數(shù)數(shù)域

Q

(ω)中形成了一個代數(shù)數(shù)的交換環(huán)。每一個 z = a + bω都是首一多項式的根。特別地，ω滿足以下方程：

因此，艾森斯坦整數(shù)是代數(shù)數(shù)。

艾森斯坦整數(shù)的范數(shù)是它的絕對值的平方，由以下的公式給出：

因此它總是整數(shù)。由于：

因此非零艾森斯坦整數(shù)的范數(shù)總是正數(shù)。

艾森斯坦整數(shù)環(huán)中的可逆元群，是復平面中六次單位根所組成的循環(huán)群。它們是：

{±1, ±ω, ±ω2}它們是范數(shù)為一的艾森斯坦整數(shù)。

艾森斯坦素數(shù)

設 x和 y是艾森斯坦整數(shù)，如果存在某個艾森斯坦整數(shù) z，使得 y = zx，則我們說 x能整除 y。

它是整數(shù)的整除概念的延伸。因此我們也可以延伸素數(shù)的概念：一個非可逆元的艾森斯坦整數(shù) x是艾森斯坦素數(shù)，如果它唯一的因子是 ux的形式，其中 u是六次單位根的任何一個。

我們可以證明，任何一個被3除余1的素數(shù)都具有形式 x? xy+ y，因此可以分解為( x+ω y)( x+ω y)。因為這樣，它在艾森斯坦整數(shù)中不是素數(shù)。被3除余2的素數(shù)則不能分解為這種形式，因此它們也是艾森斯坦素數(shù)。

任何一個艾森斯坦整數(shù) a + bω，只要范數(shù) a? ab+ b為素數(shù)，那么就是一個艾森斯坦素數(shù)。實際上，任何一個艾森斯坦整數(shù)要么就是這種形式，要么就是一個可逆元和一個被3除余2的素數(shù)的乘積。

歐幾里德域

艾森斯坦整數(shù)環(huán)形成了一個歐幾里德域，其范數(shù) N由以下的公式給出：