定向曲線(xiàn)(oriented curve)亦稱(chēng)有向曲線(xiàn),指規(guī)定了方向的曲線(xiàn)。對(duì)曲線(xiàn)Γ:x=φ(t),t∈[a,b]可以按參數(shù)增加(或減少)規(guī)定Γ的方向,即規(guī)定t?

外文名

oriented curve

別名

有向曲線(xiàn),定向曲線(xiàn)弧

簡(jiǎn)介

指規(guī)定了方向的曲線(xiàn)

所屬學(xué)科

數(shù)學(xué)

基本概念

設(shè)L是一條與自身不相交的曲線(xiàn)(可以是封閉的曲線(xiàn)),當(dāng)一動(dòng)點(diǎn)沿曲線(xiàn)L連續(xù)地向同一方向移動(dòng)時(shí),該動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)方向就確定了曲線(xiàn)L的方向,我們稱(chēng)確定了方向的曲線(xiàn)為

定向曲線(xiàn)

定向曲線(xiàn)弧

。一般地,一條定向曲線(xiàn)L的反向曲線(xiàn)記為L(zhǎng),若曲線(xiàn)L是以A為起點(diǎn),B為終點(diǎn)的定向曲線(xiàn),則記為

。對(duì)于定向曲線(xiàn),

是兩條互為反向的定向曲線(xiàn)。

定向曲線(xiàn)的參數(shù)方程

定向曲線(xiàn)

也可寫(xiě)為參數(shù)方程的形式

這里用符號(hào)

表示變量t從a變到b,其中,

時(shí)對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)上的點(diǎn)

是定向曲線(xiàn)

的起點(diǎn)A,

時(shí)對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)上的點(diǎn)

是定向曲線(xiàn)

的終點(diǎn)B,定向曲線(xiàn)的參數(shù)方程也用如下向量形式表示

定向曲線(xiàn)的切向量

對(duì)光滑的定向曲線(xiàn)

,其在任意一點(diǎn)處的切向量

是指曲線(xiàn)在該點(diǎn)切線(xiàn)的方向向量

中與曲線(xiàn)的方向一致的向量。

圖1 曲線(xiàn)的定向與單位切向量

由一元向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,

是曲線(xiàn)切線(xiàn)的方向向量中,方向指向參數(shù)增大的方向,所以定向曲線(xiàn)

的切向量為

如空間定向曲線(xiàn)

的參數(shù)方程為

的切向量為

又如平面定向曲線(xiàn)L的方程為,則該定向曲線(xiàn)的切向量為

若定向曲線(xiàn)L的方程為,則其切向量為