定理介紹

類比圓冪定理有：

定理1

從球面外一點(diǎn)P向球面引割線，交面于Q、R兩點(diǎn)；再?gòu)狞c(diǎn)P引球面的任一切線，切點(diǎn)為S，則

定理2

從球面外一點(diǎn)P向球面引兩條割線，它們分別與球面相交于Q、R、S、T四點(diǎn)，則

定理3

定理3

定理1

定理2

設(shè)點(diǎn)P是球面內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作兩條直線，分別與球面相交于Q、R、S、T四點(diǎn)，則

.

定理1、2、3統(tǒng)稱為球冪定理。

證明

具體證明可以通過(guò)P、Q、R、S、T五點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)，劃歸為平面問(wèn)題來(lái)解決，接下來(lái)的證明就和圓冪定理是一樣的了。

證明如下：

因?yàn)橹本€QR與ST相交于點(diǎn)P，所以直線QR與ST共面。又因?yàn)檫@兩條直線均與球O相交，所以Q、R、S、T四點(diǎn)共圓。然后就是圓冪定理的證明：（Q、R、S、T與下文中的A、B、C、D相對(duì)應(yīng)）

圖Ⅰ：相交弦定理。如圖，AB、CD為圓O的兩條任意弦。相交于點(diǎn)P，連接AD、BC，由于∠B與∠D同為弧AC所對(duì)的圓周角，因此由圓周角定理知：

，同理

，所以

。所以有：

，即：

。

圖Ⅱ：割線定理。如圖，連接AD、BC?？芍?p style="text-align: center;">

，又因?yàn)椤螾為公共角，所以有

，同上證得:

。

圖Ⅲ：切割線定理。如圖，連接AC、AD?！螾AC為切線PA與弦AC組成的弦切角，因此有

，又因?yàn)椤螾為公共角，所以有

，易證

。

圖Ⅳ：PA、PC均為切線，則

，在直角三角形中：

，PO為公共邊，因此

。所以

，所以

。

綜上可知，

是普遍成立的。

圓冪定理的所有情況