球面圖形（所有點(diǎn)都在同一球面上的圖形）

基本介紹

與空間一點(diǎn)O有等距離R的點(diǎn)的全體，叫做球面。所有點(diǎn)都在同一球面上的圖形，叫做

球面圖形

點(diǎn)O叫做球心，距離R叫做球的半徑，兩端點(diǎn)在球面上的線段，叫做球的弦。過(guò)球心的弦，叫做球的直徑，直徑的兩端點(diǎn)，叫做對(duì)徑點(diǎn)。

基本元素

用一平面去截球面，如果平面經(jīng)過(guò)球心，那么，球面與平面的公共部分叫做大圓。如果平面不經(jīng)過(guò)球心又與球面相交，那么，球面與平面的公共部分叫做小圓。

大圓與球面上的點(diǎn)是球面圖形的基本元素，它與平面圖形的點(diǎn)和直線相當(dāng)，點(diǎn)與大圓有如下的關(guān)系。

1)通過(guò)任意給定的不是對(duì)徑的球面兩點(diǎn)有一大圓。

2)通過(guò)任意給定的不是對(duì)徑的球面兩點(diǎn)至多有一大圓。

3)若

4)每一大圓至少包含三個(gè)點(diǎn)。

5)若C是任一大圓，球面上至少有一點(diǎn)不屬于大圓C。

6)在球面上至少有一個(gè)大圓。

以上六個(gè)關(guān)系，如果不借助球面外的任一點(diǎn)(如球心)可以把它們作為公理看待，如果借助于球面外的任一點(diǎn)(如球心)，則以上關(guān)系可以證明，例如關(guān)系(3)，過(guò)球心O的任意兩平面有公共點(diǎn)O，因而有公共直徑的兩端點(diǎn)，于是任意兩個(gè)大圓都通過(guò)它們公共直徑的對(duì)徑點(diǎn)。即是說(shuō)在球面上沒有不相交的兩個(gè)大圓，現(xiàn)在利用球心來(lái)研究球面圖形。

圖形及性質(zhì)

定義2

大圓的

大圓的

定義3

球面三角形

圖1

如圖2，從球心O經(jīng)球面三角形的三頂點(diǎn)A、B、C引射線，得到一個(gè)以球心為頂點(diǎn)的三面角O-ABC，這個(gè)三面角叫做球心三面角，三面角的三個(gè)面角對(duì)應(yīng)于球面三角形的三邊，三面角的三個(gè)二面角對(duì)應(yīng)于球面三角形的三內(nèi)角。

圖2

定義4

大圓的極

從定義4看出，大圓上任一點(diǎn)與它的極之間的大圓部分是這個(gè)大圓的

設(shè)有球面三角形ABC，如圖3；邊

圖3

定理1

證明:

(1)因?yàn)锳'是

(2)點(diǎn)B'是

由(1)、(2)知點(diǎn)C是

(證畢)。

定理2

證明:

2)∴

3)同理，球面角∠B與

球面角∠C與

(證畢)。

定理3

證明

作球面三角形ABC的極三角形A'B'C'，則從定理2得:

1)

2)以上三式兩邊分別相加得

3)由于

故：

(證畢)。